9.4.2009

Hydrostatisches Paradoxon

default

 

Hydrostatisches Paradoxon

Das "hydrostatische Paradoxon" wird häufig zitiert und abgebildet, aber selten erklärt.

hydro1

Das Phänomen "hydrostatisches Paradoxon" besteht darin, daß in kommunizierenden Röhren die Flüssigkeit überall gleich hoch steht, auch wenn die Röhren verschieden dick, kegelförmig oder sonstwie ungleichmaessig geformt sind.

hydro2

Paradox ist es deswegen, weil eine dünne und eine dicke Flüssigkeitssäule verschieden schwer sind, sich aber trotzdem das Gleichgewicht halten.

hydro3

Betrachtet man das Verbindungsrohr und darin z.B. die senkrechte Querschnittsfläche in der Mitte, dann wird offensichtlich auf diese Fläche von der dünnen Flüssigkeitssäule eine gleich große Kraft ausgeübt wie von der dicken.

"Offensichtlich" heißt: Wären die Kräfte nicht gleich, würde die Flüssigkeit so lange fließen, bis die Kräfte gleich wären.

 

Erklärung

Eine Erklärung des "hydrostatischen Paradoxons" muß erklären, wo die dünne Flüssigkeitssäule die zusätzliche Kraft herbekommt.

Zur Erklärung braucht man die Begriffe "Schwerkraft", "Dichte", "Flüssigkeit", "Druck", "elastische Verformung", "Kraft und Gegenkraft", "Kräftegleichgewicht".

Außerdem braucht man die Addition und Zerlegung von Kräften: Mehrere tatsächlich einwirkende Kräfte kann man sich durch Vektoraddition zu einer resultierenden Kraft zusammengesetzt denken, die die gleiche Wirkung hat. Umgekehrt kann man sich eine tatsächlich einwirkende Kraft in mehrere Komponenten zerlegt denken, die die gleiche Wirkung haben.

Den Luftdruck kann man beiseite lassen. Die Erscheinung "hydrostatisches Paradoxon" funktioniert mit und ohne Luftdruck gleich.

Die Begriffe "Schwerkraft", "Dichte", "Flüssigkeit", "Druck", "elastische Verformung" werden als bekannt vorausgesetzt. Die Begriffe "Kraft und Gegenkraft" und "Kräftegleichgewicht" werden hier kurz erläutert, weil sie häufig vermischt und verwechselt werden.

 

"Kräftegleichgewicht" und "Kraft und Gegenkraft"

Der Unterschied zwischen "Kraft und Gegenkraft" und "Kräftegleichgewicht" ist: Kräftegleichgewicht herrscht zwischen Kräften, die an ein und demselben Körper angreifen. Kraft und Gegenkraft greifen an verschiedenen Körpern an.

hydro4

Kraft und Gegenkraft: Ein Klotz liegt auf einem Tisch. Der Klotz drückt auf den Tisch, der Tisch drückt gegen den Klotz.

hydro5

Kräftegleichgewicht: Die beiden Kräfte, die an dem Klotz angreifen, sind im Gleichgewicht.

 

Druck in einer Flüssigkeit

Der Druck in einer Flüssigkeit hängt ab von der Dichte, der Schwerkraft und der Tiefe. Bei der Betrachtung einer bestimmten Anordnung kommunizierender Röhren mit einer bestimmten Flüssigkeit kann man die Dichte und die Schwerkraft als Konstanten betrachten. Die einzigen Variablen sind Tiefe und Druck. Sie sind proportional mit einem konstanten Faktor.

Der Druck auf eine bestimmte Fläche, wie ihn z.B. ein Mensch auf die Bodenfläche unter seinen Schuhsohlen ausübt, hat eine bestimmte Richtung: Senkrecht zur Fläche. In einer Flüssigkeit ist es anders.

In einer Flüssigkeit hat der Druck keine bestimmte Richtung. Betrachtet man irgendein Molekül der Flüssigkeit in einer bestimmten Tiefe, so erfährt dieses aus jeder Richtung die gleiche Kraft. Jedes Molekül der Flüssigkeit ist im Kräftegleichgewicht. (Wäre es nicht so, würde das Molekül sich so lange bewegen, bis es diesen Zustand erreicht hat.)

hydro6

Man kann es sich so vorstellen, daß auf das Molekül aus jeder Richtung ein Kraftpfeil einwirkt, wobei die Anfangspunkte kugelförmig um das Molekül herum angeordnet sind. Alle diese Kräfte addieren sich zu Null.

Für Flüssigkeitsmoleküle an der Oberfläche und an den Gefäßwänden ist die Situation anders: Flüssigkeitsmoleküle an der Oberfläche befinden sich in der Tiefe Null, dort ist der Druck und die Länge der Kraftpfeile Null.

hydro7

Für Flüssigkeitsmoleküle direkt an der Gefäßwand oder am Boden kommt die Hälfte der Kraftpfeile aus Richtung der Flüssigkeit, die andere Hälfte aus Richtung der Wand. Zu jedem Kraftpfeil, der aus Richtung der Flüssigkeit kommt, gibt es einen Partner, ebenfalls aus der Richtung der Flüssigkeit, so daß die beiden sich zu einer Kraft addieren, die senkrecht zur Gefäßwand steht. Die gesamte Halbkugel von Kraftpfeilen, die aus Richtung der Flüssigkeit kommen, addiert sich zu einer Kraft, die senkrecht auf der Gefäßwand steht.

Durch diese Kraft ist die Gefäßwand (während des Eingießens) so weit elastisch verformt worden, daß sie eine ebensogroße Gegenkraft ausübt. (Diese kann man sich, wenn man möchte, zerlegt denken in eine Schar von einzelnen Kraftpfeilen, deren Anfangspunkte halbkugelförmig angeordnet sind.)

 

Schlußfolgerung

Die dünne Flüssigkeitssäule bekommt ihre zusätzliche Kraft daraus, daß sie die Gefäßwände unter Druck setzt, so daß sie elastisch verformt werden und so den Druck erwidern.
abatz.de Jörn Abatz - Technische Software Impressum